Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Для состояний с постоянным значением энергии эволюционное уравнение Шрёдингера принимает более специальный вид и становится уравнением, решая которое, следует найти две вещи: при каких именно значениях энергии вообще существуют волновые функции с этой специальной минимальной («круговой») зависимостью от времени, а также какой, собственно, вид эти волновые функции имеют. Трудно переоценить, насколько важным для существования нашего мира оказывается один математический факт: такие волновые функции представляют собой штучный товар – они существуют крайне «редко», можно даже сказать, «почти никогда», за исключением тех случаев, когда значение энергии в точности совпадает с одним из специальных дискретных значений («из списка», как мы говорили в начальных главах). В каждом таком случае свирепая энергия отчасти умиротворяется. Она изменяет такую специальную волновую функцию лишь минимальным образом: просто умножая ее на число. Это число и оказывается численным значением энергии. Весь список разрешенных значений энергии составляется таким способом.
Мы уже говорили, что атомы каждого элемента существуют только со вполне конкретными конфигурациями своих электронов. Теперь мы видим математическую подоплеку: уравнение Шрёдингера для атома в стационарном состоянии допускает только вполне конкретный набор решений. В частности, решение для состояния с минимальной (первой в списке) энергией единственно {40}.
Сформулировав свое уравнение и поняв, как оно решается для простой стационарной системы – атома водорода, Шрёдингер сумел теоретически пройти путь от волновых функций, в которых ничего дискретного нет, к дискретности, которая играет определяющую роль в устройстве мира. (При этом он уложился в рождественские каникулы в горах, куда отправлялся в конце 1925 г., видимо, без ярко выраженного намерения произвести переворот в науке; однако уже в начале пребывания там он сетовал в письмах на свое «недостаточное знание математики».) Абстрактный формализм и выполняемые на бумаге математические преобразования позволили объяснить весь список разрешенных значений энергии для атома водорода – что было важнейшим первым достижением в последовавшей затем череде успешных применений уравнения Шрёдингера.
Правда, сам автор уравнения первое время после его создания и триумфальной проверки рассчитывал на большее: он надеялся описать вообще все квантовые объекты, начиная с электрона, как «сгустки» волновой функции. Этот план полностью провалился, как мы уже кратко упомянули в главе 3, а теперь можем рассказать с большей точностью. Причин было несколько. В первую очередь, волновая функция не может описывать квантовые объекты в системе по одному, а может – только всю систему целиком и поэтому не позволяет ответить на вопрос о том, что происходит (или даже «может произойти») в какой-то одной точке пространства. Если объектов в системе больше одного, то волновая функция – это не описание бегающих по пространству волн, отвечающих отдельным квантовым объектам.
К этому стоит добавить, что волновая функция еще и ненаблюдаема: нет физической процедуры, позволяющей, даже теоретически, точно ее измерить. Принципиально ненаблюдаем, в частности, тот самый «бег по кругу» в воображаемом пространстве. (И однако же, попытки избавиться от него в теоретическом описании немедленно разрушают всю квантовую теорию! Без него просто ничего не работает.)
Еще одна причина, по которой не удался план Шрёдингера описывать материю как «сгустки» волновой функции, носит более технический характер и, собственно говоря, представляет собой препятствие в попытке «выкрутиться» – произвести с волновой функцией математические действия, каким-то разумным образом оставляющие зависимость только от одной точки (правда, так получается уже не волновая функция, а математически совсем другой объект). После этого появляется надежда сказать: «Вот, если получилось что-то, отличное от нуля вблизи точки X, но равное нулю вдали от нее, то, значит, в точке X и находится квантовый объект, и он построен из волновой функции». Идея не сработала, потому что в силу самого уравнения Шрёдингера пространственный размер области, где «что-то», построенное таким способом, отлично от нуля, непрерывно увеличивается. Объекты, описываемые подобным образом, должны со временем широко расползаться по пространству – достаточно широко, чтобы вступить в явное противоречие с опытными данными.
  
Тем не менее уравнение Шрёдингера стало универсальным инструментом квантовой механики. Ключевая догадка, воплощенная в нем, – в том, что управляющая роль принадлежит энергии. А энергия – очень универсальное понятие, и в различных ситуациях надо просто правильно учесть все имеющиеся в задаче виды энергии и превратить каждый в преобразователь волновой функции.
Правда, это последнее может потребовать изобретательности, как это было в случае спина. Из-за наличия спина электрон становится магнитом; а всякий магнит получает добавку к своей энергии, когда находится в магнитном поле. В случае электрона разговаривает с магнитным полем «упрямая стрелка» из главы 7; используя ее, несложно записать выражение для энергии, практически копируя то, которое работает для обычных магнитов. Но далее необходимо понять, каким же способом ее вклад в энергию дополнительно «толкает» волновую функцию. Как это организовать, придумал Паули в 1927 г. Он использовал спиноры, включив их в волновую функцию. В свете нашего знакомства со спинорами в предыдущих главах это самый короткий способ сказать, в чем состояло изобретение Паули, но говорить так не очень хорошо, потому что сам Паули не просто «использовал», но, для начала, придумал математические объекты, которые впоследствии получили название «спиноры».
Спиноры несут в себе две опорные возможности: «спин вперед» и «спин назад» вдоль любого выбранного направления в пространстве. Технически Паули разрешил волновой функции стать «двойной»: вместо одной волновой функции для (несуществующего) электрона без спина нужны две, чтобы описывать электрон со спином; они соответствуют этим двум опорным возможностям (и могут, конечно, комбинироваться). Их называют компонентами волновой функции, а сам термин «волновая функция» закрепляют за ними, взятыми вместе. Две компоненты волновой функции определенным образом изменяются в ответ на повороты «волшебной стрелки», а энергия электрона в магнитном поле зависит от того, в какую сторону смотрит эта стрелка. В результате добавка к энергии электрона за счет взаимодействия его спина с магнитным полем и получает возможность «толкать» волновую функцию.
Две компоненты волновой функции не повторяют друг друга – они определяются из двух взаимозависимых уравнений, вовлекающих их обеих, но несколько по-разному. Иногда эти два уравнения называют уравнениями Паули, но часто – все равно уравнением Шрёдингера, потому, надо полагать, что принцип там остается тем же: энергия говорит волновой функции, как ей меняться во времени. Таким образом удалось описать все основные эффекты, связанные со спином. Не только строение атома, но и взаимодействие атомов, т. е. содержание всей химии, – это в основе своей квантовое явление. Заведомо лучший (но, увы, практически нереализуемый) способ узнать все о химических реакциях – решать уравнение Шрёдингера для участников каждой реакции, как минимум для всех «задействованных» электронов (с учетом, разумеется, их спинов) и атомных «остовов» (того, что остается в атоме, когда эти электроны его покинули) {41}.
При всех достижениях уравнения Шрёдингера с учетом спина электронов, одно обстоятельство оставалось некоторое время загадочным. Для электрона в магнитном поле вклад спина в энергию в два раза весомее, чем вклад в энергию «атрибутов вращения», которые электрон может брать себе, находясь в атоме. Другими словами: атрибуты вращения, связанные со спином, в два раза эффективнее в производстве магнитных свойств, чем атрибуты вращения, связанные с пребыванием электрона в атоме. Это удвоение поначалу никак не объяснялось, но только с ним получалось правильное уравнение Шрёдингера со спином. Окончательное понимание пришло из более глубокой теории, до которой мы доберемся ближе к концу книги.